수학 공부의 재구성

왜 수학 공부를 재구성해야 하는가?
수능 수학은 대입 수험생들에게 최고의 난관이다. 상위 등급을 좌우하는 소위 ‘킬러 문제들’의 경우 엄청난 난도를 자랑하며, 변별을 위해 복잡하게 꼬아놓은 이 문제들을 풀지 못하는 한 수능 고득점은 사실상 불가능하다. 
현재 수능 수학의 가장 큰 문제는 그것이 학생의 수학적 ‘창의력’ 즉 수학적 감각이나 발상이 얼마나 좋은지를 측정하는 시험이 아니라, 얼마나 많은 시간을 공부했는가, 얼마나 많은 문제를 풀어봤는가를 묻는 시험, 즉 ‘숙련’을 체크하는 시험이라는 점이다. 국내의 한 수학자가 세계수학자대회에 참가한 수학자들에게 수능 수학 30번 문제를 풀어보게 했더니, 하나 같이 “창의성보다는 기술적인 힘만 요하는 문제”라고 입을 모았다. 
그 결과가 해마다 수능에서 반복되고 있는 재수생의 우위다. 하나라도 더 많은 문제를 풀어본 학생이 유리할 수밖에 없는 시험에서, 내신과 학종을 병행해야 하는 재학생보다 수능 문제풀이만을 훈련한 재수생이 우세를 보이는 것은 어쩌면 당연한 일이다. 선행학습을 막기 위해 고3 1학기가 되도록 진도가 끝나지 않는 현재의 수업 일정도 여기에 한몫한다. 
게다가 많은 학생이 초중등 때부터 온갖 사교육을 통해 너무 많은 수학 공부에 시달린 나머지, 정작 킬러 문제들이 주로 출제되는 미적분을 배우기도 전에 ‘수포자’가 돼버리고 만다. 수능과 직접 관련이 없는 지엽적인 공부로 너무 진을 빼기 때문이다. 
이 책은 이러한 상황 인식에서 출발해, 수능에 효과적으로 대처할 수 있는 새로운 공부 계획과 방법을 제안한다. 서울 변두리의 중하위권 학생들을 다년간 가르치며 ‘수포자 전문강사’라는 별명을 얻은 저자는 말한다. “우리 아이들은 너무 잡다한 것을 너무 오래 배우고 있다. 빠르게 핵심만 공부하자.”

재구성의 방향
현재 수능 수학의 키워드가 ‘숙련’이라면, 최고의 수능 대책은 최대한 빨리 학교수학을 끝낸 후 수능이라는 본 게임에 하루라도 빨리 들어가 숙련도를 높이는 것이다. 수능 이전의 기본 수학을 빠르게 정리하려면 어떻게 해야 할까? 
방법의 골자는 중고등 수학 6년을 통째로 하나로 놓고 수능이라는 목표에 맞춰 교과과정을 재설계하는 것이다. 구체적으로는, 중2 때까지 지금의 중1~고1 수학을 모두 마치고, 중3(늦어도 고1) 때까지 미적분을 끝내는 것을 목표로 한다. 이를 위한 공부의 주된 원칙은 중복되거나 중요하지 않은 부분은 과감히 건너뛰고, 꼭 필요한 것만 선별해서 연관된 영역들을 한꺼번에 배우는 것이다. 
중학수학과 고교수학이라는 시대에 뒤진 인위적인 커리큘럼 구분을 더 이상 절대시할 이유가 없다. 먼저 중학수학을 끝내고 나서야 고교수학을 할 수 있는 것이 아니다. 학교수학의 또 다른 문제는 초중등에서는 별것 아닌 내용으로 오래 시간을 끄는 데 비해, 고등학교에 가서는 새로운 내용인데도 진도가 무척 빠르다는 점이다. 하지만 시그마, 지수로그, 수열 등은 초등학생에게 가르쳐도 전혀 지장이 없는 매우 쉬운 개념들이다. 상대적으로 여유가 있는 중학교 때 고교수학의 기본을 빠르게 잡고, 늦어도 고2부터는 실전 문제풀이를 반복 숙련하는 것이 수능을 대비하는 가장 현실적인 방법이다. 
수능이 요구하는 ‘숙련’의 경지에 이르려면 하루라도 빨리 수능이라는 링에 오르는 것이 최선이다. 중학교 때부터 수능에 초점을 맞춘 개인 맞춤형 공부계획을 세우고, 수능 출제 범위와 경향에 맞춰 효율적으로 공부방법과 스케줄을 조정한다면 자신이 목표한 바를 효과적으로 이룰 수 있을 것이다. 
저자가 교육현장에서 학생들을 가르치며 실제로 검증한 이 통합·압축 선행의 구체적 방법들 중 몇 가지를 소개하면 다음과 같다.

재구성의 방법
1) 전개와 인수분해, 방정식과 부등식을 한꺼번에 풀자: 중학교에 들어와 학생들은 다양한 문자연산을 배운다. 그중 하이라이트는 단연 ‘이차방정식’이다. 하지만 이차방정식까지 도달하는 과정은 길고 지루하다. 중2 때 식의 ‘전개’를 배우고, 중3 때 이를 거꾸로 진행하는 ‘인수분해’를 배운 다음에야, 식을 0과 등치시키고 해를 구하는 ‘이차방정식’을 배운다. 이렇게 쓸데없이 세분해서 3~4년씩 과잉 훈련할 필요가 없다. 수학을 자꾸 세분하면 오히려 전체적인 윤곽을 파악하지 못하게 된다. 
저자는 이 모든 것을 한꺼번에 공부할 것을 권한다. 가령, 바로 이차방정식 문제를 놓고 이를 인수분해하는 법을 가르친 후, 이것을 다시 전개해서 전자가 나옴을 보인다. 이 과정에서 전개를 익힐 수 있고, 전개와 인수분해의 관계를 확인할 수 있다. 인수분해로 바로 해결되는 이차방정식의 기본 연산이 어느 정도 숙달되면, 이후 ‘근의 공식’ 등으로 차츰 수준을 높여가는 것이다.
또한 이차방정식을 배울 때 고1 때 배우는 삼차방정식을 포함해 지수방정식, 로그방정식 등을 함께 공부하고 부등식도 같이 가르쳐야 한다. 어떤 미지의 대상을 x로 놓고 일정한 연산 절차를 밟아 문제를 해결한다는 대수의 원리에서 보자면, 이 모든 것은 본질적으로 하나이기 때문이다. 중요한 것은 문제에서 규칙과 패턴을 찾아 그것을 일반화하는 식을 세울 수 있느냐다. 이차방정식, 삼차방정식 하는 구분은 그 안에서 벌어지는 지엽적인 구분일 뿐이다. 마치 우리가 구구단을 배울 때 1학년 때는 2단, 2학년 때는 3단 하는 식으로 따로 배우지 않는 것처럼, 모든 방정식과 부등식을 굳이 따로 가르칠 이유가 없다.

2) 모든 함수의 그래프를 같이 배우자: 방정식과 마찬가지로, 함수도 모든 것을 함께 가르쳐야 한다. 일·이차함수를 가르칠 때 분수함수, 지수함수, 로그함수, 절댓값함수 등 고교수학에 나오는 모든 함수를 함께 배우고 각 그래프의 모양과 성질, 꼭짓점과 극값, 평행이동과 대칭이동을 서로 비교하면서 가르쳐야 한다. 이렇게 통합해서 배워야 함수를 전체적으로 이해할 수 있다. 
현행 학교수학의 문제는 일·이차함수만 따로 떼어 과도하게 오래 가르치고, 함수와 방정식을 함부로 연관 짓는다는 것이다. 그 결과 중하위권 학생들은 덮어놓고 그래프를 그리지만, 그 의미를 올바르게 해석하지 못한다. 
방정식과 함수는 얼핏 비슷해 보이지만 의미하는 바는 전혀 다르다. 방정식이 어떤 고정된 실체, 존재를 다룬다면, 함수는 변화하는 대상 사이의 관계를 다룬다. 갈릴레이, 뉴턴 등 근대 과학자들이 변화하는 물체의 운동을 설명하기 위해 동원한 수학적 도구가 함수였고, 함수를 통해 미적분이라는 수학의 거대한 세계가 열릴 수 있었다. 방정식은 함수와 미적분을 풀기 위한 하나의 수학적 스킬에 불과하다. 
이처럼 아주 다른 세계관에서 태어난 방정식과 함수를 현행 중3~고1 교과과정은 무분별하게 섞어놓고 너무 장황하게 다룬다. 중고교 수학의 정점에 있는 미적분과 함수의 이러한 역사적 의미를 자세히 설명하여 방정식과 함수의 차이를 확실히 이해시켜야 한다. 

3) 지수·로그·극한 등 상위 개념을 일찍 배우자: 분수소수는 초등학교 4~6학년 때 배우고, 루트와 지수로그는 중3~고2 때 배운다. 당연히 전자가 더 쉽고 후자가 더 어려울 것 같지만, 실제로 초등학생들에게 가르쳐보면 정반대다. 분수소수보다 루트와 지수로그를 더 쉬워한다. 분수소수 연산은 생각보다 어려운 개념으로, 1차 수포자가 대량 발생하는 영역이다. 반면에 고등학교에서 배우는 지수로그 계산은 개념만 이해하면 초등 고학년도 풀 수 있는 간단한 수준이다. 
분수소수를 지나치게 많이 훈련하고 지수로그를 뒤늦게 가르치는 것은 현대수학의 흐름과도 맞지 않는다. 예전에는 곱셈이 중요했지만, 오늘날 더 중요한 것은 거듭제곱 즉 지수와 로그다. 대장균이 번식하고, 방사성 동위원소가 붕괴하고, 인구가 늘어나는 것이 모두 지수로그로 표현된다. 분수소수 연산은 구구단이나 인수분해, 피타고라스 정리처럼 이제 상식이 되었다. 사회는 빠르게 이과화되고 있으며, 우리는 지수로그를 통해 우주와 미시세계를 탐구한다. 
저자는 변별력을 높이기 위해 갈수록 어려워지는 수능 수학에 맞춰서 중학수학을 지수로그, 극한, 미적분을 중심으로 상향 조정해야 한다고 주장한다. 정규 교과에서 배우는 기본 내용만으로는 수능의 킬러 문제를 풀 수 없다. 정규 교과에서 부차적으로 다루는 상위 개념들을 적극적으로 익히는 것이 수능 고득점의 열쇠다. 

4) 수열·확률은 수능 기출문제를 바로 풀자: 수열은 문제풀이 과정에서 수를 다루는 다양한 테크닉을 익힐 수 있고, 무엇보다 패턴과 규칙을 찾는 힘을 길러주기 때문에 초등생부터 고교생까지 폭넓게 함께 공부할 수 있다. 또한, 고등수학에서 중요한 고비가 되는 극한 개념을 자연스럽게 익힐 수 있기 때문에 일찍 가르칠 필요가 있다. 
고등학생도 ∑(시그마)와 lim(리미트) 같은 낯선 기호가 나오면 주눅이 드는데, 특별한 훈련 없이 그냥 대입만 해도 해결되는 문제가 적지 않다. 수능 기출문제 중에서 학생의 수준에 맞는 것을 선별해서 직접 풀어가며 기호에 대한 적응력을 높이고 자신감을 키우는 것이 중요하다. 
확률 역시 실제로 기출문제를 풀어가면서 실전적인 감각을 기르는 것이 좋다. 확률과 경우의 수는 초등-중등-고등 단원의 난이도 차이가 크지 않아, 고3 수능 문제를 초등 고학년에게 내주어도 아무 문제가 없다. 실제로 중학수학 참고서들에는 순열이나 조합 같은 용어만 사용하지 않을 뿐 그 개념을 이용하는 문제들이 많다. 굳이 이렇게 단계를 나누고 ‘중학교는 여기까지만’이라고 한정할 이유가 없다. 실전 상황에 맞게 다양한 기술을 활용할 수 있도록 적극적으로 상위 개념을 가르쳐야 한다. 

5) 유클리드 기하에서 쓸데없이 힘 빼지 말자: 중학수학에서 큰 비중을 차지하는 것이 유클리드 기하다. 하지만 중학수학 안에서도, 고등학교 과정과도 중복되는 것이 너무 많다. 중2에서 내심·외심, 중3에서 원과 비례 등 상당 부분을 생략할 수 있다. 꼭 가르쳐야 한다면 고등수학에서 필요한 내용만 선별해서 가르치는 것이 좋다. 지금처럼 IQ 퍼즐 같은 문제들을 지나치게 많이 가르치는 것은 불필요하다. 머리를 써야 하는 문제들은 고등수학 기하(무한등비급수, 삼각함수 극한 등)에도 즐비하다.
유클리드 기하는 자명한 논리체계로 서구 지성사에서 엄청난 영향력을 발휘했지만, 비유클리드 기하학의 등장과 더불어 그 중요성이 많이 약화되었다. 오늘날 고등수학에서 더 중요한 것은 삼각함수와 좌표 기하학이다. 유클리드의 [기하학 원론]은 분명 인류 문명의 보고이지만, 현대적 관점에서 별로 쓸모가 없는 유클리드 기하를 지나치게 강조하거나 얽매일 필요가 없다. 

6) 문장제 문제는 과감히 생략하자: 사회 전반에서 스토리텔링이 강조되면서 학교수학에서도 문장제 문제가 대폭 늘어났다. 소금물의 농도를 묻는 응용문제가 대표적이다. 많은 학생이 수학에 대한 흥미를 잃고 염증을 느끼는 것이 이 문장제 문제 때문이다. 
문장제 문제의 가장 큰 문제점은 묻고 있는 개념은 쉬운데 문장이 어렵다는 것이다. 일차방정식이나 부등식 같은 초보적인 개념을 묻는데, 설명하는 문장이 잘 이해가 되지 않게 서술되어 있다. 상황은 대충 이해가 된다, 그러나 이 상황을 식으로 바꾸려면 상당한 집중력이 요구된다. 중위권 학생이 이런 문제를 접하면 긴장부터 하고, 몇 문제 풀고 나면 대부분 넋이 나간다. 
중학수학은 기호와 문자를 적절히 대수적으로 조작하여 답을 구하는 과정을 익히는 것으로 충분하다. 그것을 할 수 있다면 미적분이나 다른 고등수학으로 넘어가면 될 일이지, 쓸데없는 문장제 문제를 푸느라 시간을 보낼 이유가 없다. 중위권이라면 더욱 그렇다. 중위권의 경우 문장제 문제는 안 해도 되는 것이 아니라 적극적으로 하지 말아야 한다. 하면 할수록 고등수학에 필요한 기본 개념이 엷어지는 늪에 빠질 뿐이다.